Προσεγγιστική λύση για τον υπολογισμό του ακουστικού πεδίου περίθλασης γύρω από απορροφητική σφήνα
Συγγραφείς
Πηνελόπη Μενούνου, Ελευθέριος Παναγόπουλος, Πέτρος Νικολάου
Σύνοψη
Στην παρούσα εργασία εξετάζεται η περίθλαση των ακουστικών κυμάτων στην ακμή εμποδίου σχήματος σφήνας. Παραδείγματα είναι τα σκαλιά των αρχαίων θεάτρων, τα ηχοπετάσματα κατά μήκος των οδών ταχείας κυκλοφορίας ή οι πτέρυγες των αεροσκαφών.
Για σφήνες με ανακλαστικές επιφάνειες [ακουστικά σκληρές επιφάνειες (συνοριακή συνθήκη Neumann) ή επιφάνειες ελεύθερης πίεσης (συνοριακή συνθήκη Dirichlet)] υπάρχουν ακριβείς αναλυτικές λύσεις για όλα τα είδη ηχητικής ακτινοβολίας: επίπεδα, κυλινδρικά και σφαιρικά προσπίπτοντα κύματα (βλ. βιβλίο αναφοράς Bowman, Senior & Uslenghi 1987). Ωστόσο, για σφήνες με απορροφητικές επιφάνειες, οι λύσεις είναι περιορισμένες. Η ακριβής λύση Maliuzhinets (βλ. άρθρο αναφοράς Osipov&Norris, 1999)έχει ιδιαίτερες δυσκολίες στον υπολογισμό της. Οι Lim&Lee (1987) έχουν προτείνει προσεγγίσεις της που ισχύουν σε μεγάλες αποστάσεις από την ακμή της σφήνας. Οι Hewett&Morris (2014) θεωρώντας την ακριβή λύση του Maliuzhinets και και βασιζόμενοι στο έργο του Rawlins (1977) έχουν δημοσιεύσει τη μοναδική (εξ’ όσων γνωρίζουν οι συγγραφείς) ακριβή λύση για απορροφητική σφήνα σε μορφή που μπορεί να υπολογιστεί. Η λύση ισχύει όμως μόνο για σφήνες εσωτερικής γωνίας 90ο και για επίπεδη προσπίπτουσα ακτινοβολία. Μια συνήθης πρακτική τακτική (π.χ. Salomons, 1997, Hayek, 1990, Nord2000,2001) αφορά την τροποποίηση λύσεων για ανακλαστικές σφήνες, ώστε να περιγράφει το πεδίο περίθλασης γύρω από απορροφητικές σφήνες. Μια διαφορετική αντιμετώπιση έχει προταθεί από τον Svensson (2023) και αφορά την διακριτοποίηση των απορροφητικών επιφανειών της σφήνας κι έπειτα την προσομοίωση κάθε διακριτού τμήματος ως παλλόμενο έμβολο.
Στην παρούσα εργασία προτείνονται κατάλληλες τροποποιήσεις σε μια πρόσφατα δημοσιευμένη προσεγγιστική λύση τεσσάρων όρων για ανακλαστικές σφήνες (Nikolaou et. al. 2024) για επίπεδα, κυλινδρικά, και σφαιρικά προσπίποντα κύματα, έτσι ώστε η λύση να μπορεί να εφαρμοστεί για απορροφητικές σφήνες. Συγκεκριμένα, οι τέσσερις επιμέρους όροι της λύσης για ανακλαστικές επιφάνειες πολλαπλασιάζονται με κατάλληλους συντελεστές ανάκλασης. Για επίπεδα προσπίπτοντα κύματα, οι συντελεστές αυτοί εξαρτώνται από γωνίες πρόσπτωσης στην επιφάνεια της σφήνας και από την ακουστική αγωγιμότητα του υλικού της σφήνας (η οποία δίνεται ως συνάρτηση της συχνότητας και της ροϊκής αντίστασης σύμφωνα με το μοντέλο των Delany&Bazley, 1970)
Η σειρά τοποθέτησης των συντελεστών ανάκλασης και οι τιμές των γωνιών πρόσπτωσης επιλέγονται έπειτα από πολλαπλές αριθμητικές συγκρίσεις μεταξύ της τροποποιημένης προσεγγιστικής λύσης και της ακριβούς λύσης των Hewett – Morris. Αρχικά, ελέγξαμε όλους τους πιθανούς συνδυασμούς τοποθέτησης των συντελεστών ανάκλασης (24 περιπτώσεις), συγκρίνοντας για κάθε περίπτωση την νέα λύση με την ακριβή λύση των Hewett-Morris. Η νέα λύση περιέγραφε ικανοποιητικά το πεδίο περίθλασης, για τη περίπτωση συνοριακών συνθηκών Dirichlet, μόνο για δύο εκ των 24ων περιπτώσεων. Οι δύο αυτές περιπτώσεις διέφεραν μόνο ως προς τις επιλεχθείσες γωνίες πρόσπτωσης, οι οποίες για τη περίπτωση συνθηκών Dirichlet δεν επηρεάζουν τη τιμή των συντελεστών ανάκλασης. Έπειτα, μεταβάλλαμε τη τιμή της αγωγιμότητας των επιφανειών της σφήνας και παρατηρήσαμε πως η μία εκ των δύο προαναφερθέντων περιπτώσεων οδήγησε σε μικρότερο σφάλμα, για συγκεκριμένες γωνιακές θέσεις πηγής-δέκτη. Στη συνέχεια δοκιμάσαμε διαφορετικές τιμές γωνιών πρόσπτωσης, τις οποίες μεταβάλλαμε ανάλογα με τη σχετική γωνιακή θέση της πηγής και του δέκτη, και επιλέξαμε τους συνδυασμούς για τους οποίους η διαφορά μεταξύ των δύο λύσεων παρουσίασε τη μικρότερη τιμή.
Αποτελέσματα από την νέα λύση συγκρίθηκαν με την ακριβή αναλυτική λύση των Hewett- Morris για πολλές τιμές αγωγιμότητας και συχνότητας πηγής. Η απόκλιση της νέας λύσης από την ακριβή απεικονίστηκε σε διαγράμματα πολικότητας (ηχητική στάθμη πεδίου περίθλασης συναρτήσει πλέγματος γωνιών πηγής – δέκτη για όλες τις πιθανές σχετικές θέσεις πηγής και δέκτη). Από τα αποτελέσματα των συγκρίσεων διαπιστώθηκε πως το σφάλμα της νέας λύσης μειώνεται όταν η ακουστική απόσταση του δέκτη από την ακμή της σφήνας ( ) αυξάνεται και όταν ο λόγος της συχνότητας προς τη ροϊκή αντίσταση του υλικού που επενδύει τη σφήνα μειώνεται. Ως προς τις γωνιακές θέσεις πηγής-δέκτη, σφάλματα εντοπίζονται για θέσεις δέκτη πολύ κοντά στις επιφάνειες της σφήνας και όταν η πηγή τοποθετείται σε θέση που «βλέπει» και τις δύο επιφάνειες της σφήνας και ο δέκτης τοποθετείται μεταξύ της εξωτερικής διχοτόμου της σφήνας και της επιφάνειας που βρίσκεται μακρύτερα από την πηγή. Για τις περισσότερες εξεταζόμενες περιπτώσεις το σφάλμα της νέας λύσης είναι μικρότερο από 3dB.
Επίσης, αξίζει να αναφερθεί ότι η νέα λύση είναι 100 φορές ταχύτερη από την ακριβή λύση των Hewett-Morris.
Στη συνέχεια η λύση επεκτάθηκε για σφαιρικά προσπίπτοντα κύματα. Οι όροι της αντίστοιχης λύσης για ανακλαστικές επιφάνειες πολλαπλασιάζονται σε αυτή την περίπτωση με σφαιρικούς συντελεστές ανάκλασης (αντί για συντελεστές ανάκλασης επίπεδου κύματος). Για τη σειρά τοποθέτησης των συντελεστών ανάκλασης και τις τιμές των γωνιών πρόσπτωσης ακολουθήθηκαν τα αποτελέσματα που προέκυψαν από τη μελέτη των επίπεδων κυμάτων. Για τις αποστάσεις που απαιτούνται στον υπολογισμό των σφαιρικών συντελεστών ανάκλασης ακολουθήσαμε το έργο του Salomons,1997.
Αποτελέσματα από τη νέα λύση για σφαιρικά προσπίπτοντα κύματα συγκρίθηκαν ικανοποιητικά με την προσεγγιστική λύση Nord2000. Οι συγκρίσεις έγιναν για πολλές γωνίες σφήνας, τιμές αγωγιμότητας, συχνότητες, και συνδυασμούς γωνιακών θέσεων πηγής-δέκτη, στην περιοχή εγκυρότητας του μοντέλου Nord 2000 (η εσωτερική γωνία σφήνας δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από 180ο και πηγή και δέκτης πρέπει να βρίσκονται εκατέρωθεν της εξωτερικής διχοτόμου της σφήνας). Τέλος, η προτεινόμενη λύση είχε ικανοποιητική συμφωνία με δημοσιευμένα πειραματικά δεδομένα για σφαιρικά προσπίπτοντα κύματα σε απορροφητικές σφήνες για μεγάλο εύρος συχνοτήτων
