Hμι-εμπειρικές σχέσεις για τον υπολογισμό του ακουστικού πεδίου περίθλασης γύρω από σφήνες

Κάντε κλικ εδώ για να κατεβάσετε αυτό το έγγραφο

Πηνελόπη Μενούνου, Πέτρος Νικολάου, Σωτήρης Σαλάγας

Στην παρούσα εργασία εξετάζεται το πρόβλημα του γρήγορου υπολογισμού του ακουστικού πεδίου γύρω από σφήνες μέσω ημι-εμπειρικών σχέσεων. Ο ήχος ανακλάται πάνω στις επιφάνειες της σφήνας και περιθλάται πάνω στην ακμή της. Αντικείμενο της μελέτης είναι το ακουστικό πεδίο περίθλασης από την ακμή, το οποίο εκτείνεται παντού γύρω από τη σφήνα και η μελέτη γίνεται στο πεδίο των συχνοτήτων. Οι αναλυτικές λύσεις του προβλήματος, τόσο οι ακριβείς όσο και οι προσεγγιστικές, (βλ. βιβλίο αναφοράς των Bowman, Senior & Uslenghi, 1987) είναι μαθηματικά περίπλοκες και υπολογιστικά χρονοβόρες. Κατά συνέπεια δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε περιπτώσεις όπου ο αριθμός των σφηνών είναι πολύ μεγάλος (π.χ. τα σκαλοπάτια που δημιουργούν οι θέσεις των αρχαίων θεάτρων) ή σε εφαρμογές όπου η ταχύτητα των υπολογισμών είναι σημαντική. Γι αυτό το λόγο έχουν αναπτυχθεί ημι-εμπειρικές σχέσεις οι οποίες μειώνουν το υπολογιστικό κόστος κατά τάξεις μεγέθους. Με τον όρο εμπειρικές, ή ημι-εμπειρικές σχέσεις εννοούμε σχέσεις που περιέχουν απλές και γρήγορες μαθηματικές πράξεις οι οποίες προσεγγίζουν με ικανοποιητική ακρίβεια πολύπλοκες και χρονοβόρες μαθηματικές εκφράσεις ανεξάρτητα απο τη μέθοδο με την οποία αναπτύχθηκαν οι απλές εμπειρικές ή ημι-εμπειρικές σχέσεις. Ευρέως διαδεδομένα εμπειρικα μοντέλα περίθλασης περιέχονται στο Nord2000 (2001) και στο Harmonoise (2010). Πρόσφατα παρουσιάστηκε ένα εμπειρικό μοντέλο (Μενούνου-Ασημακόπουλος, 2021) βασισμένο σε μια προσεγγιστική αναλυτική λύση για το πεδίο περίθλασης (Μενούνου-Νικολάου, 2016) που ισχύει για υψηλές συχνότητες. Σε παλαιότερο συνέδριο (Μενούνου-Σαλάγας-Νικολάου, 2022) χρησιμοποιήθηκε μια διαφορετική λύση, με μεγαλύτερη ακρίβεια απο την αρχική λύση των Μενούνου-Νικολάου, και παρουσιάστηκε μια καινούργια ημι-εμπειρική σχέση, η οποία όμως περιοριζόταν σε δέκτες στη ζώνη σκιάς πίσω από την σφήνα. Στην παρούσα εργασία χρησιμοποιείται μια τρίτη, ακόμα πιο ακριβής προσεγγιστική λύση (Μενούνου,κ.ά.2024) η οποία, όπως και οι προηγούμενες, ισχύει για επίπεδα, κυλινδρικά και σφαιρικά κύματα και για υψηλές συχνότητες. Με βάση αυτή την αναλυτική λύση μια νέα εμπειρική φόρμουλα παρουσιάζεται, η οποία δεν περιορίζεται σε δέκτες στη ζώνη σκιάς, αλλά ισχύει για όλες τις θέσεις των δεκτών και (σε αντίθεση με τις λύσεις Nord2000, Harmonoise και Μενούνου-Ασημακόπουλος) ισχύει για όλες τις γωνίες σφήνας. Αρχικά, στη προσεγγιστική αναλυτική λύση αναγνωρίζεται το τμήμα που είναι υπεύθυνο για τους μεγάλους υπολογιστικούς χρόνους. Διαπιστώνεται ότι περιλαμβάνει ολοκληρώματα Fresnel και ότι είναι μια μιγαδική σιγμοειδής συνάρτηση μιάς μοναδικής παραμέτρου. Μια φόρμουλα παρουσιάζεται, η οποία προσεγγίζει αυτη την σιγμοειδή συνάρτηση τόσο ως προς το μέτρο όσο και ως προς τη φάση και η οποία απαιτεί απλές μαθηματικές πράξεις αντί για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων Fresnel. Η φόρμουλα αυτή συγκρίνεται θετικά τόσο ως προς την ακρίβεια όσο και ως προς την ταχύτητα με υπάρχουσες σχέσεις που προσεγγίζουν ολοκληρώματα Fresnel (Nord2000, Heald 1985, McCormic 2002 and Umzul 2005). Οι ακριβείς λύσεις του προβλήματος απαιτούν τον αριθμητικό υπολογισμό ολοκληρωμάτων, μια διαδικασία που απαιτεί έλεγχο αριθμητικής σύγκλισης και είναι χρονοβόρα. Υποθέτωντας υψηλές συχνότητες τα ολοκληρώματα που περιέχονται στις ακριβείς λύσεις μετατρέπονται σε ολοκληρώματα Fresnel, των οποίων ο υπολογισμός είναι πιο εύκολος αλλά επίσης χρονοβόρος. Οι υπάρχουσες εμπειρικές λύσεις είτε προσεγγίζουν τα ολοκληρώματα Fresnel (Nord2000, Μενούνου-Σαλάγας-Νικολάου, παρούσα εργασία), είτε προσεγγίζουν κατευθείαν ολόκληρο το πεδίο περίθλασης για υψηλές συχνότητες (Harmonoise, Μενούνου-Ασημακόπουλος). Από ότι είναι σε θέση να γνωρίζουν οι συγγραφείς δεν υπάρχουν ημι-εμπειρικές σχέσεις που να παρέχουν το ακουστικό πεδίο τόσο για υψηλές όσο και για χαμηλές συχνότητες, δηλαδή ημι-εμπειρικές σχέσεις που να προσεγγίζουν τα ολοκληρώματα των ακριβών λύσεων. Στην παρούσα εργασία παρουσιάζεται μια τέτοια ημι-εμπειρική σχέση ως επέκταση της εμπειρικής λύσης για τα ολοκληρώματα Fresnel. Η προτεινόμενη ημι-εμπειρική σχέση πλεονεκτεί σε σχέση με τα διαδεδομένα εμπειρικά μοντέλα Nord2000 και Harmonoise όσο και με τις προηγούμενες ημι-εμπειρικές σχέσεις των συγγραφέων. Έχει ευρύτερο πεδίο εγγυρότητας. Συγκεκριμένα, ισχυει για όλες τις γωνίες σφήνας, για όλες τις γωνιακές θέσεις πηγής-δέκτη και για μεγαλύτερο εύρος συχνοτήτων. Έχει μεγαλύτερη ακρίβεια και μικρότερο υπολογιστικό κόστος. Τέλος, η προτεινόμενη ημι-εμπειρική λύση ενσωματώνεται σε αναλυτικές λύσεις που περιγράφουν (ι) περίθλαση από ηχοαπορροφητική (αντί για ακουστικά σκληρή) σφήνα, (ιι) περίθλαση ανώτερης τάξης (δηλαδή διαδοχικές περιθλάσεις σε περισσότερες από μια σφήνες), και (ιιι) διαδοχικές περιθλάσεις σε περισσότερες από μια απορροφητικές σφήνες. Δημιουργούνται έτσι υβριδικές λύσεις που συνδιάζουν την μαθηματική περιγραφή πολύπλοκων προβλημάτων με το πλεονέκτημα του μικρού υπολογιστικού χρόνου. Οι υβριδικές αυτές λύσεις εφαρμόζονται για την πρόλεξη του ακουστικού πεδίου σε αντίστοιχα προβλήματα. Συγκεκριμένα εξετάζονται περιπτώσεις μεμονωμένης σκληρής ή απορροφητικής σφήνας, τετραγωνικού σκληρού εμποδίου πάνω σε σκληρό έδαφος, τριγωνικού απορροφητικού εμποδίου σε απορροφητικό έδαφος και τραπεζοειδούς εμποδίου (με σκληρή ή απορροφητική άνω βάση) σε απορροφητικό έδαφος. Τα αποτελέσματα συγκρίνονται ικανοποιητικά με δημοσιευμένα πειραματικά δεδομένα και αριθμητικά αποτελέσματα από τη μέθοδο των συνοριακών στοιχείων.