Νέα αναλυτική λύση για τον υπολογισμό του ακουστικού πεδίου περίθλασης γύρω από ακουστικά σκληρή σφήνα στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο των συχνοτήτων

Κάντε κλικ εδώ για να κατεβάσετε αυτό το έγγραφο

Πέτρος Νικολάου, Αναστασία Μαρκέτου, Σωτήρης Σαλάγας, Πηνελόπη Μενούνου

Ο ήχος που συναντά την ακμή μια σφήνας απείρου μήκους περιθλάται γύρω από αυτή. Η περίθλαση είναι αντικείμενο μελέτης σε πολλούς τομείς της ακουστικής όπως στην ακουστική αρχαίων θεάτρων, τον μη καταστροφικό έλεγχο δομικών κατασκευών, την υποβρύχια ακουστική, την πρόβλεψη του ακουστικού πεδίου γύρω πτέρυγα αεροσκάφους κ.ά. Για την πρόβλεψη της περίθλασης χρησιμοποιούνται αναλυτικές λύσεις, αριθμητικές προσεγγίσεις, και πειράματα. Στην παρούσα εργασία παρουσιάζουμε μια νέα αναλυτική προσεγγιστική λύση στο πεδίο του χρόνου, την οποία συγκρίνουμε με την ακριβή αναλυτική λύση καθώς και με υπάρχουσες προσεγγιστικές λύσεις των συγγραφέων. Η νέα λύση παρουσιάζεται επίσης και στο πεδίο των συχνοτήτων, όπου και εκεί συγκρίνεται με τις ακριβείς λύσεις καθώς και με υπάρχουσες προσεγγιστικές λύσεις των συγγραφέων. Συγκεκριμένα, ξεκινώντας από την ακριβή αναλυτική λύση των Biot-Tolstoy (1957) που ισχύει για σφαιρικά κύματα και θεωρώντας μικρούς χρόνους μετά την άφιξη του παλμού περίθλασης καταλήγουμε σε μία προσεγγιστική λύση 4 όρων. Η ακρίβεια της νέας λύσης ελέγχεται για κάθε συνδυασμό γωνιακής θέσης πηγής και δέκτη και για κάθε γωνία σφήνας σε διάφορες χρονικές στιγμές. Οι συγκρίσεις γίνονται με την ακριβή λύση των Biot-Tolstoy. Απεικονίζονται σε διπλά Θ-διαγράμματα και τετραπλά Γ-Θ διαγράμματα και προσδιορίζεται η περιοχή εγκυρότητας της νέας λύσης. Σε σχέση με προγενέστερη προσεγγιστική των συγγραφέων (Μενούνου κ.α. 2023), η παρούσα λύση ισχύει για μεγαλύτερους χρόνους και για μεγαλύτερο εύρος γωνιακών θέσεων πηγής και δέκτη. Αντίστοιχα, αναπτύσσονται αναλυτικές προσεγγιστικές λύσεις για επίπεδα και κυλινδρικά προσπίπτοντα κύματα ξεκινώντας από τις ακριβείς αναλυτικές λύσεις (βλ. βιβλίο Felsen). Όπως και στην περίπτωση των σφαιρικών κυμάτων, συγκρίσεις με τις ακριβείς αναλυτικές λύσεις δεικνύουν ότι οι νέες λύσεις είναι ακριβέστερες από προγενέστερες λύσεις των συγγραφέων (Μενούνου κ.α. 2023). Σε σχέση με τις ακριβείς λύσεις στο πεδίο του χρόνου, οι λύσεις που παρουσιάζονται στην παρούσα εργασία παρουσιάζουν συγκεκριμένα πλεονεκτήματα: 1) Τόσο οι ακριβείς λύσεις όσο και οι νέες προσεγγιστικές λύσεις είναι οι κρουστικές αποκρίσεις του προβλήματος περίθλασης. Το σήμα περίθλασης υπολογίζεται ως η συνέλιξη της κρουστικής απόκρισης με την κυματομορφή ενός τυχαίου προσπίπτοντος σήματος. Η απόκριση μοναδιαίας βαθμίδας, η οποία προκύπτει από την χρονική ολοκλήρωση της κρουστικής απόκρισης, χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων συνέλιξης (αντί της κρουστικής απόκρισης) γιατί επιταχύνει τους υπολογισμούς κατά τάξεις μεγέθους (Νικολάου, 2019). Το χρονικό ολοκλήρωμα των νέων λύσεων (και άρα η αντίστοιχη μοναδιαία βαθμίδα) μπορεί να υπολογιστεί σε κλειστές αναλυτικές μορφές, ενώ το χρονικό ολοκλήρωμα των ακριβών λύσεων δε μπορεί να υπολογιστεί σε κλειστή αναλυτική μορφή. 2) Μπορεί να αποδειχτεί (με βάση τις προσεγγιστικές λύσεις) ότι υπάρχει μια γεννήτρια καμπύλη που εξαρτάται από μία μόνο αδιάστατη παράμετρο. Η γεννήτρια καμπύλη μπορεί να δημιουργήσει τις κρουστικές αποκρίσεις για κάθε γωνία σφήνας, για κάθε συνδυασμό πηγής-δέκτη και για κάθε είδος προσπίπτοντος σήματος (επίπεδο, κυλινδρικό, σφαιρικό). 3) Μπορεί να αποδειχτεί (και πάλι με βάση τις προσεγγιστικές λύσεις) ότι οποιοδήποτε σήμα (ανεξάρτητα από την κυματομορφή του ή από το είδος της εξάπλωσης του – επίπεδο, κυλινδρικό ή σφαιρικό) το οποίο προσπίπτει σε σφήνα οποιασδήποτε γωνίας μπορεί να αναλυθεί ως ένα ισοδύναμο επίπεδο σήμα που προσπίπτει σε σφήνα μηδενικής γωνίας. Δηλαδή, το απλούστερο πρόβλημα περίθλασης (επίπεδο σήμα προσπίπτον σε ημι-επίπεδο) εμπεριέχει όλα τα προβλήματα περίθλασης από σφήνα. Στη συνέχεια αποδεικνύεται ότι ο μετασχηματισμός Fourier των νέων λύσεων (για επίπεδα, κυλινδρικά και σφαιρικά προσπίπτοντα κύματα) μπορεί να υπολογισθεί αναλυτικά. Οι νέες προσεγγιστικές σχέσεις συγκρίνονται με τις ακριβείς λύσεις Oberhettinger (βλ. βιβλίο αναφοράς Bowman, Senior & Uslenghi, 1987). Οι ακριβείς λύσεις δε εκφράζονται σε κλειστή αναλυτική μορφή και απαιτείται ο αριθμητικός υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Αντίθετα, οι προσεγγιστικές λύσεις που παρουσιάζονται στην παρούσα εργασία εκφράζονται σε κλειστή αναλυτική μορφή. Όπως και οι λύσεις στο πεδίο του χρόνου, οι λύσεις στο πεδίο των συχνοτήτων έχουν 4 όρους και είναι ακριβέστερες από προηγούμενες λύσεις των συγγραφέων.